Tan , Zi Shyuan
(2016)
Cyclic And Dihedral Group Ring Codes.
Masters thesis, Universiti Sains Malaysia.
Abstract
Dengan mengitlakkan idea melihat kod kitaran sebagai unggulan dalam
gelanggang kumpulan kitaran, banyak kajian tentang kod gelanggang kumpulan yang
merupakan unggulan telah dijalankan sejak setengah abad yang lalu. Pada tahun
2007, T. Hurley dan P. Hurley memperkenalkan satu keluarga kod gelanggang
kumpulan yang baru dengan mengemukakan suatu pendekatan pengekodan baru.
Berbeza dengan yang lalu, semua kod gelanggang kumpulan dari keluarga baru ini
ialah submodul dan cuma merupakan unggulan dalam kes-kes tertentu. Sebagai
notasi, kod gelanggang kumpulan baru ini ditulis sebagai kod-RG di mana R ialah
satu domain integer dan G ialah satu kumpulan. Dalam tesis ini, kami mula dengan
melihat kod - F2G sebagai suatu perwakilan kesetaraan bagi kod linear binari, di
mana F2 merupakan medan terhingga bersaiz dua. Satu syarat yang mencukupi
untuk suatu kod linear binary setara dengan suatu kod - F2Cn telah ditentukan.
Sehubungan ini, kami mengkaji kesetaraan antara kod-kod F2G dengan
mengemukakan tatasusunan gelanggang kumpulan. Didorong oleh satu contoh
kod - F2D24 yang setara dengan suatu kod - F2C24, kami mengkaji sifat kesetaraan
kod - F2Cn dan kod - F2D2n. Semua kod - F2D2n bagi n - 2,3,4,5 telah diperlihat
sepenuhnya bersama-sama dengan penjana masing-masing dan didapati setiapnya
adalah setara dengan suatu kod - F2Cn . Akhir sekali, satu pencirian separa ke atas
nilai n untuk kod - F2D2n menjadi setara dengan suatu kod F2C2n telah ditemui.
By generalizing the idea of viewing cyclic codes as ideals in cyclic group
rings, many studies on group ring codes which are ideals, have been done since half a
century ago. In 2007, T. Hurley and P. Hurley introduced a new encoding approach
of codes using group rings. Different from the previous studies, the resulting group
ring codes introduced by Hurleys are submodules and are ideals only in certain
restrictive cases. Group ring codes introduced by Hurley are denoted as RG-codes
where R is an integral domain and G is a group. In this thesis, we first study the
family of F2G-codes where F2 is the finite field of order two, by viewing the codes
as equivalent forms of some binary linear codes. A sufficient condition for a binary
linear code to be equivalent to an F2Cn -code is determined. In addition to this, we
start of the study of equivalence codes among F2G-codes by inventing a tool named
group ring array. Triggered by an example of an F2D24 -code that is also an
F2C24 -code up to equivalence, properties of F2Cn -codes as well as F2D2n -codes
have been studied using group ring array. In particular, all F2D2n -codes for
n - 2,3,4,5 are exhibited thoroughly together with their respective generator and
each is found to be equivalent to some F2C2n -codes. Lastly, a partial characterisation
on the value of n with respect to when an F2D2n -code is equivalent to some
F2C2n - codes is established.
Actions (login required)
 |
View Item |
![[img]](http://eprints.usm.my/style/images/fileicons/application_pdf.png)
