Cyclic And Dihedral Group Ring Codes

Tan , Zi Shyuan (2016) Cyclic And Dihedral Group Ring Codes. Masters thesis, Universiti Sains Malaysia.

[img]
Preview
PDF
Download (705Kb) | Preview

    Abstract

    Dengan mengitlakkan idea melihat kod kitaran sebagai unggulan dalam gelanggang kumpulan kitaran, banyak kajian tentang kod gelanggang kumpulan yang merupakan unggulan telah dijalankan sejak setengah abad yang lalu. Pada tahun 2007, T. Hurley dan P. Hurley memperkenalkan satu keluarga kod gelanggang kumpulan yang baru dengan mengemukakan suatu pendekatan pengekodan baru. Berbeza dengan yang lalu, semua kod gelanggang kumpulan dari keluarga baru ini ialah submodul dan cuma merupakan unggulan dalam kes-kes tertentu. Sebagai notasi, kod gelanggang kumpulan baru ini ditulis sebagai kod-RG di mana R ialah satu domain integer dan G ialah satu kumpulan. Dalam tesis ini, kami mula dengan melihat kod - F2G sebagai suatu perwakilan kesetaraan bagi kod linear binari, di mana F2 merupakan medan terhingga bersaiz dua. Satu syarat yang mencukupi untuk suatu kod linear binary setara dengan suatu kod - F2Cn telah ditentukan. Sehubungan ini, kami mengkaji kesetaraan antara kod-kod F2G dengan mengemukakan tatasusunan gelanggang kumpulan. Didorong oleh satu contoh kod - F2D24 yang setara dengan suatu kod - F2C24, kami mengkaji sifat kesetaraan kod - F2Cn dan kod - F2D2n. Semua kod - F2D2n bagi n - 2,3,4,5 telah diperlihat sepenuhnya bersama-sama dengan penjana masing-masing dan didapati setiapnya adalah setara dengan suatu kod - F2Cn . Akhir sekali, satu pencirian separa ke atas nilai n untuk kod - F2D2n menjadi setara dengan suatu kod  F2C2n telah ditemui. By generalizing the idea of viewing cyclic codes as ideals in cyclic group rings, many studies on group ring codes which are ideals, have been done since half a century ago. In 2007, T. Hurley and P. Hurley introduced a new encoding approach of codes using group rings. Different from the previous studies, the resulting group ring codes introduced by Hurleys are submodules and are ideals only in certain restrictive cases. Group ring codes introduced by Hurley are denoted as RG-codes where R is an integral domain and G is a group. In this thesis, we first study the family of F2G-codes where F2 is the finite field of order two, by viewing the codes as equivalent forms of some binary linear codes. A sufficient condition for a binary linear code to be equivalent to an F2Cn -code is determined. In addition to this, we start of the study of equivalence codes among F2G-codes by inventing a tool named group ring array. Triggered by an example of an F2D24 -code that is also an F2C24 -code up to equivalence, properties of F2Cn -codes as well as F2D2n -codes have been studied using group ring array. In particular, all F2D2n -codes for n - 2,3,4,5 are exhibited thoroughly together with their respective generator and each is found to be equivalent to some F2C2n -codes. Lastly, a partial characterisation on the value of n with respect to when an F2D2n -code is equivalent to some F2C2n - codes is established.

    Item Type: Thesis (Masters)
    Subjects: Q Science > QA Mathematics > QA1 Mathematics (General)
    Divisions: Pusat Pengajian Sains Matematik (School of Mathematical Sciences)
    Depositing User: Mr Noorazilan Noordin
    Date Deposited: 07 Mar 2017 12:42
    Last Modified: 07 Mar 2017 12:42
    URI: http://eprints.usm.my/id/eprint/32312

    Actions (login required)

    View Item
    Share